时滞系统完全稳定性问题是关于时滞系统最基础、最重要的理论问题之一。其任务是找到所有使系统稳定的时滞参数区间。然而由于求解的复杂性，该问题长久以来未被解决。一方面，时滞系统是一类无穷维系统、具有无穷多个特征根（因特征函数为准多项式，属于超越函数）。基于现有的数学手段我们需要研究其临界虚根关于临界时滞的渐近行为。另一方面，一个时滞系统的临界虚根对应无穷多个临界时滞，因而常规的数学方法更难以处理。

本报告将介绍一套全新的研究方法。首先，对于时滞系统引入解析曲线数学视角来研究相关渐近行为。进一步，结合时滞系统的自身特性，逐渐建立了一个全新的分析工具：频率扫描数学框架。借助该框架，首次系统地解决了时滞系统完全稳定性问题。进一步，通过放宽对特征函数的限制条件(放宽至广义准多项式)，该数学框架可涵盖几乎文献中所有类型的时滞系统。此外，还建立了针对时滞系统的拓扑研究体系，极大地深入了对该领域的研究。同时，频率扫描方法是一种图形化判据，使用起来非常简单（无需任何渐近行为分析方面的计算）。