在第一部分, 我们在较弱条件下得到关于欧氏空间之间映射的满射性定理, 它推广了经典结果: 设-映射的Jacobi行列式处处非零, 且在x的绝对值趋于无穷的时候，f（x）的绝对值也趋于无穷，则是满射. 由此, 我们给出代数基本定理的新证明. 推广到微分流形上, 我们有: 紧流形上的向量值函数必有无穷多个临界点.

在第二部分, 我们假设-重积分的换元公式成立, 从而利用超曲面的参数方程用-重积分定义曲面积分并建立-维散度定理, 然后用散度定理给出-重积分换元公式的新证明. 对于好的区域, 我们的证明只要求换元映射是区域边界的微分同胚, 于是作为推论我们立刻得到-维的Brouwer不动点定理.

最后, 我们简单地讨论余面积公式及其应用. 这个报告的主要内容只用到多元微积分和线性代数的知识.